Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)

Áp dụng AM - GM ta có :

\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)

\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)

\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)

\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)

Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)

Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)

Thanks bạn

Cô ơi em có cách khác ạ :)

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=0

Khi đó T=0

Ta có: 

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

<=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{x^2}{a^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{y^2}{b^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{z^2}{c^2}\)

<=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2=0\)

vì a, b , c khác 0 nên \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2};\frac{\left(c^2+a^2\right)}{b^2};\frac{\left(b^2+a^2\right)}{c^2}\ne0\)

\(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2\ge0;\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2\ge0;\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2\ge0\)với mọi x, y, z

=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2\ge0\)với mọi x; y; z

Do đó: \(\frac{\left(b^2+c^2\right)}{a^2}x^2+\frac{\left(a^2+c^2\right)}{b^2}y^2+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{c^2}z^2=0\)

=> x = y = z = 0

Vậy T = 0 

từ đề bài => \(x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)=> x=-1; y=-1 và z=-1

A=-1^2016+ -1^2016+ -1^2016=1+1+1=3

\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0+0+0\)

\(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)

Mà \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\left(y+1\right)^2\ge0\)

\(\left(z+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x+1=y+1=z+1=0\)

\(\Rightarrow x=y=z=-1\)

\(\Rightarrow P=1+1+1=3\)

câu hỏi tương tự nha bn

ta thấy x=y=z=1 đều thỏa mãn các dữ kiện của đề bài nên

B=(1⁵-1)(1⁵-1)(1²⁰¹⁶-1)=0